문제
수열 A가 주어졌을 때, 가장 긴 증가하는 부분 수열을 구하는 프로그램을 작성하시오.
예를 들어, 수열 A = {10, 20, 10, 30, 20, 50} 인 경우에 가장 긴 증가하는 부분 수열은 A = {10, 20, 10, 30, 20, 50} 이고, 길이는 4이다.
입력
첫째 줄에 수열 A의 크기 N (1 ≤ N ≤ 1,000,000)이 주어진다.
둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 Ai가 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 1,000,000)
출력
첫째 줄에 수열 A의 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이를 출력한다
LIS(최장 증가 부분 수열) 알고리즘 문제 입니다.
LIS의 길이를 구하는 방법은 크게 두가지가 있습니다.
(1) DP : O(N^2)
(2) Binary Search : O(NlogN)
N의 크기가 최대 1,000,000이 주어지므로 (2)를 사용하여 문제를 해결할 수 있습니다.
Binary Search로 LIS의 길이를 찾는 방법은 다음 예시로 설명드리겠습니다.
입력
6
10 20 15 19 30 18 // 배열 A
1) LIS 배열의 첫 원소는 주어진 배열 A의 첫 원소로 초기화합니다.
- LIS[0] = A[0];
LIS배열 [ 10 ]
2) A의 두번째 원소부터 LIS 배열에 들어갈 자리를 Binary Search를 통해 찾아 삽입합니다.
- BinarySearch는 key의 LowerBound(key보다 크거나 같은 첫번째 위치)를 반환합니다.
- 현재 LIS배열은 [ 10 ]로 20보다 크거나 같은 값이 없으므로 반환 값은 1이 됩니다.
- 인덱스 1에 20(key)을 삽입합니다.
- LIS 배열 [ 10, 20 ]
3) A의 세번째 원소 ( A[2] = 15 )
- LIS배열은 [ 10, 20 ]로 BinarySearch가 반환하는 값은 1입니다.
- 인덱스 1의 위치에 15(key)을 삽입합니다.
- LIS 배열 [ 10, 15 ]
4) A의 네번째 원소 ( A[3] = 19 )
- LIS 배열은 [ 10, 15 ]로 BinarySearch가 반환하는 값은 2입니다.
- 인덱스 2의 위치에 19(key)을 삽입합니다.
- LIS 배열 [ 10, 15, 19 ]
5) A의 다섯번째 원소 ( A[4] = 30 )
- LIS 배열은 [ 10, 15, 19 ]로 BinarySearch가 반환하는 값은 3입니다.
- 인덱스 3의 위치에 30(key)을 삽입합니다.
- LIS 배열 [ 10, 15, 19, 30 ]
6) A의 여섯번째 원소 ( A[5] = 18 )
- LIS 배열은 [ 10, 15, 19, 30 ]로 BinarySearch가 반환하는 값은 2입니다.
- 인덱스 2의 위치에 18(key)을 삽입합니다.
- LIS 배열 [ 10, 15, 18, 30 ]
이처럼 Binary Search를 이용한 방법은 LIS의 길이를 찾을 수 있지만, 정확한 LIS 배열을 찾지는 못합니다.
전체코드
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.StringTokenizer;
// 가장 긴 증가하는 부분 수열 2
public class Main {
static int A[];
static int N;
static List<Integer> LIS;
private int binarySearch(List<Integer> list, int key) {
int l = 0;
int r = list.size() - 1;
while (l <= r) {
int mid = (l + r) / 2;
int midVal = list.get(mid);
if (midVal > key) {
r = mid - 1;
} else if (midVal < key) {
l = mid + 1;
} else {
l = mid;
break;
}
}
return l;
}
private void solution() throws Exception {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StringTokenizer st;
N = Integer.parseInt(br.readLine());
st = new StringTokenizer(br.readLine());
LIS = new ArrayList<>();
A = new int[N];
for (int i = 0; i < N; i++) {
A[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
}
LIS.add(A[0]);
for (int i = 1; i < N; i++) {
int idx = binarySearch(LIS, A[i]);
if (idx == LIS.size())
LIS.add(A[i]);
else
LIS.set(idx, A[i]);
}
System.out.println(LIS.size());
}
public static void main(String[] args) throws Exception {
new Main().solution();
}
}
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